Kurtág György 1926. február 19-én született a bánáti Lugoson (románul Lugoj).

1948 óta magyar állampolgár; 2002-ben felvette a francia állampolgárságot is. Ötéves kora óta tanult zongorázni, Vojkicza-Peia Kláránál. Sokat köszönhetett az édesanyjával való közös muzsikálásnak, akivel Haydn- és Beethoven-szimfóniák, valamint Mozart-nyitányok négykezes átiratait játszották.

Az első igazi pedagógusegyéniség, akitől életre szóló, zeneszerzői tevékenységére is kiható élményeket kapott, Kardos Magda volt Temesvárott. Zeneszerzéstanulmányait (összhangzattant és ellenpontot) Max Eisikovitsnál kezdte, ugyancsak Temesvárott. 1945 szeptemberében felvételizett a budapesti Zeneakadémiára; ekkor ismerkedett meg Ligeti Györggyel, akihez életre szóló barátság fűzte. 1946-ban kezdte meg tanulmányait Budapesten: Kadosa Pál (zongora), Weiner Leó (kamarazene), Veress Sándor, majd Farkas Ferenc (zeneszerzés) voltak a professzorai, de jelentős impulzusokat kapott Járdányi Páltól is. 1951-ben diplomázott Kadosa Pálnál a zongoraművész-képzőn és Weiner Leónál a kamarazene-főtanszakon. 1955-ben nyerte el zeneszerzés-diplomáját Farkas Ferencnél.

1947-ban feleségül vette Kinsker Mártát, aki élettársként, 1954-ben született fiúk, ifj. Kurtág György édesanyjaként, zongoraművészként, a születő kompozíciók első hallgatója- és bírálójaként azóta is meghatározó szerepet játszik Kurtág életében.

1957–1958-ban Olivier Messiaen és Darius Milhaud kurzusait látogatta Párizsban, a legnagyobb hatást azonban Marianne Stein tanítása gyakorolta rá. Nemcsak abban segített, hogy Kurtág megtalálja a komponálását éveken át bénító alkotói válságból kivezető utat. Új fejezetet nyitott a zeneszerző pályáján („Marianne megfelezte az életemet”) – irányt mutatott. Ez magyarázza az Op. 1-es Vonósnégyes ajánlását, és évekkel később ezért dedikálta Marianne Steinnek az Op. 24-es Kafka-töredékeket is.  A Párizsban töltött hónapok során Kurtág maradandó zenei benyomásokat köszönhetett a Domaine musical koncertjeinek, ahol többek között számos Boulez-művet hallott az együttest alapító zeneszerző dirigálásával.  Ez az év, valamint úton hazafelé a Kölnben töltött néhány nap – amikor viszontlátta Ligetit, aki megmutatta az elektronikus Artikulation-t, megismerkedett Stockhausennel és meghallgatta annak Gruppen című darabját három zenekarra –, döntő hatást gyakorolt Kurtág pályájára. Ezek a benyomások nagy szerepet játszottak az Op. 1-es első Vonósnégyes létrejöttében.

1960 és 1968 között Kurtág az Országos Filharmónia szólistáit korrepetálta; 1967-ben kezdte meg oktatói tevékenységét a Zeneakadémián. Kezdetben Kadosa Pál tanársegédje volt a zongoratanszakon, majd kamarazenét tanított. 1986-ban nyugdíjba vonult, de ezekután is,1993-ig, rendszeresen tanított a Zeneakadémián. Azóta, a mai napig, évente több kamarazene-kurzust tart Európa számos országában, valamint az Egyesült Államokban. 1971-ben DAAD-ösztöndíjasként egy évet Nyugat-Berlinben töltött. 1973-ban Kossuth-díjjal tüntették ki. (1996-ban másodszor is megkapta a kitüntetést).

1981-ben mutatta be az Ensemble Intercontemporain Párizsban A megboldogult R.V.Truszova üzenetei, Op. 17 című kompozíciót szopránra és kamaraegyüttesre (szólista: Csengery Adrienne, karmester: Sylvain Cambreling). A mű átütő sikere indította meg Kurtág nemzetközi karrierjét. 1993-ban a berlini Wissenschaftskolleg meghívására két esztendőre a városba költözött mint a Berlini Filharmonikusok composer-in-residence-sze. 1995–1996-ban hasonló minőségben a bécsi Konzerthaus vendége, majd Amszterdam (1996–1998), ismét Berlin (1998–1999) és Párizs (1999–2001) következett. A Kurtág házaspár 2001 óta Bordeaux közelében, St. André de Cubzacban él.